Tercer Grado

Cálculo de probabilidades de ocurrencia de dos eventos independientes


La probabilidad es un método por el cual se obtiene la frecuencia de un acontecimiento determinado mediante la realización de un experimento aleatorio del que se conocen todos los resultados posibles, bajo condiciones suficientemente estables.  Toma valores entre 0 y 1 o entre 0% y 100%.

También es un método matemático que estudia todas esas situaciones en las cuales es difícil predecir con certeza el resultado final y por lo tanto solo podemos hacer posibles predicciones al respecto.

Cálculo de probabilidades de ocurrencia de dos eventos independientes

 

Probabilidad de ocurrencia

  • Es el resultado matemático de los casos deseados sobre los casos posibles.
  • Es un valor igual o menor que uno
  • Si es algo que siempre ocurre, el valor es 1
  • Si es algo que nunca podrá ocurrir, el valor es 0

Ejemplo probabilidad de que al lanzar un dado salga el número 2: el caso favorable está en uno de sus seis lados posibles, por lo tanto

P(A)=1/6 =0.166 = 16.6%

Espacio muestral

Es el conjunto de todos los posibles resultados de una experiencia aleatoria, se representa por E (o con S, Ω o U). En una moneda tenemos dos espacios muestrales: cara o cruz. En un dado hay seis espacios.

Eventos independientes

Se dan cuando dos sucesos aleatorios son independientes entre sí, cuando la probabilidad de cada uno de ellos no esta influida porque el otro suceso ocurra o no, es decir, cuando ambos sucesos no están relacionados.

Cuando los eventos no se afectan entre sí se les conoce como eventos independientes. Dos sucesos son independientes si la probabilidad de que ocurran ambos simultáneamente es igual al producto de las probabilidades de que ocurra cada uno de ellos.

Ejemplos:

Lanzas un dado, si no sale 6 lanzas de nuevo ¿cuál es la probabilidad de sacar un 6 en el segundo lanzamiento? El hecho de que el primer lanzamiento no es un 6 no cambia la probabilidad de que el segundo lanzamiento sea un 6. En este ejemplo la situación es lanzar el dado de nuevo si no sale 6 y los eventos son las veces que se lanza el dado.

Los eventos independientes ocurren cuando

a) el proceso que genera el elemento aleatorio no elimina ningún posible resultado. Pueden ser dos, tres o más eventos que no se afecten entre sí.

b) el proceso que sí elimina un posible resultado, pero el resultado es sustituido antes de que suceda una segunda acción.

Ejemplo: en una bolsa hay 5 canicas, 2 son de color rojo, 2 son blancas y una verde. Sacas una canica, la observas y la vuelves a meter en la bolsa; si sacas otra canica ¿cuál es la probabilidad de sacar una canica roja ambas veces?

Son 2 eventos porque hay que sacar una canica roja en el primer y segundo intento.

Son independientes porque se regresa la primera canica a la bolsa y el segundo intento es con 5 canicas nuevamente. La probabilidad de sacar una canica roja es 2/5 en el primer experimento, al regresarla a la bolsa original sigue siendo 2/5 y esto significa que los dos eventos son independientes.

Pero, ¿qué pasaría si no regresas la primera canica a la bolsa? la probabilidad de sacar una canica roja será diferente para el segundo intento. Si una canica roja es eliminada, en el segundo intento la probabilidad sería de 1/4 porque solo queda una roja de las cuatro en este caso los eventos no serían independientes.

Ejemplo 2: si sacas una carta de un mazo de 52 cartas y luego lanzas un dado ¿cuál es la probabilidad de sacar un dos y luego lanzar el dado y que caiga en dos?

Son 2 eventos uno es que la carta sea un 2 y otro que el dado caiga en 2.

Son independientes porque el lanzamiento del dado no depende de las cartas por lo que ningún posible resultado ha sido remplazado. A pesar del resultado de sacar la carta la probabilidad del dado no se verá afectada.

Eventos complementarios

En probabilidad es muy común hablar de que un evento ocurra o no ocurra. Los eventos complementarios son aquellos que si no se da uno, obligatoriamente se tiene que dar el otro.

Espacio muestral

Es el conjunto de todos los posibles resultados individuales de un experimento aleatorio, por ejemplo si lanzamos un dado verde y uno amarillo nuestro espacio muestral queda así:

Son 36 los posibles resultados, en base a esto podemos hacer deducciones y conclusiones cuando se nos plantea alguna interrogante, por ejemplo: ¿qué probabilidad tendríamos de que al tirar ambos dados caigan los dos en un número par? en nuestro espacio muestral vemos que las posibilidades son: 2,2- 4,2 – 6,2- 2,4- 4,4- 6,4 -2,6 -4,6 -6,6 por lo tanto quedan 9 opciones en las que puede ocurrir que salga un número par en ambos dados; esto es igual a 9/36 = 1/4

Regla del producto

Esta característica se utiliza para calcular la probabilidad conjunta o simultánea de dos o más eventos y debe de cumplir la ocurrencia simultánea de los eventos independientes donde hay, como se muestra en la expresión algebraica P(A ∩ B) = P(A) x P(B) esta fórmula representa la probabilidad conjunta de A y B es igual a la probabilidad de A que multiplica a la probabilidad de B es por eso que se llama Regla del producto, porque existe una multiplicación en las probabilidades de los dos eventos independientes para calcular la probabilidad en conjunto.

Por ejemplo, para saber cuál es la probabilidad de que al tirar los dos dados aparezca el número 2 en ambos, para aplicar la regla del producto escribimos la posibilidad de que salga el número 2 en el primer dado 1/6 y en el dado 2 sería igual por lo tanto aplicando la regla del producto multiplicamos 1/6 x 1/6 = 1/36 lo cual concuerda exactamente con el espacio muestral.

Ejemplo:

En una caja hay 4 globos rojos, 3 verdes y 2 azules. Un globo se saca de la caja y es remplazado. Otro globo se saca de la caja. ¿Cuál es la probabilidad de que el primer globo sea rojo y el segundo azul?

En el espacio muestral tenemos 9 globos, en el primer evento la probabilidad es de 4/9 y en el segundo 2/9

Regla del producto: 4/9 x 2/9 = 8/81

Fernando tiene 10 pares de calcetines: 2 negros, 2 cafés, 3 blancos, uno rojo, uno azul y uno verde. Hoy quiere usar un par blanco, pero tiene prisa por llegar al trabajo por lo que agarra uno al azar. Si no es blanco lo devolverá al cajón. Si continúa agarrando pares aleatoriamente. ¿Cuál es la probabilidad de sacar un par blanco en el tercer intento?

Primero definimos los eventos:

Como queremos que saque unos blancos en su tercer intento es necesario que no saque blancos en el primero ni en el segundo.

Evento uno un par de calcetines que no son blancos, evento dos un par de calcetines que no son blancos, evento tres un par de calcetines que sí son blancos.

Los eventos son independientes porque cada resultado eliminado es remplazado. Los eventos anteriores no cambian las probabilidades de eventos posteriores pues Fernando regresa el par de calcetín al cajón.

El tamaño muestral para cada evento es 10, el tamaño del espacio de eventos para el evento A y el evento B es 7 porque hay siete pares que no son blancos.

El tamaño del espacio del evento C es 3 porque hay 3 pares que son blancos.

Regla del producto: 7/10 x 7/10 x 3/10 = 147/1000 = 0.1470 = 14.70% que sería el resultado de obtener calcetines blancos en el tercer intento.

En general para cualquier número de eventos independientes, la probabilidad de que los eventos sucedan es el producto de las probabilidades de que sucedan los eventos individuales.

Ahora te toca a ti

  1. ¿Cuál es la probabilidad de que, tirando 3 dados, salga en los 3 el número 6?
  2. ¿De cuántas maneras se pueden expresar las probabilidades?

 

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